线性方程组考研题

Q:

{λx1+x2+x3=λ−3x1+λx2+x3=−2x1+x2+λx3=−2\begin{cases} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = \lambda -3 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = -2 \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = -2 \\ \end{cases}

lambda 取何值时方程组无解

A: λ=−2\lambda=-2

Q:

{λx1+x2+x3=λ−3x1+λx2+x3=−2x1+x2+λx3=−2\begin{cases} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = \lambda -3 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = -2 \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = -2 \\ \end{cases}

lambda 取何值时方程组有唯一解

A: λ≠−2,λ≠1\lambda\ne-2,\lambda\ne1

Q:

{λx1+x2+x3=λ−3x1+λx2+x3=−2x1+x2+λx3=−2\begin{cases} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = \lambda -3 \\ x_1 + \lambda x_2 + x_3 = -2 \\ x_1 + x_2 + \lambda x_3 = -2 \\ \end{cases}

lambda 取何值时方程组无穷解并表示全部解

A: λ=1,(−2,0,0)T+k1(−1,1,0)+k2(−1,0,1)\lambda=1,(-2,0,0)^T+k_1(-1,1,0)+k_2(-1,0,1)

Q:

A4=(α1,α2,α3,α4),α1=2α2−α3,β=α1+α2+α3+α4A_4=(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4), \alpha_1=2\alpha_2-\alpha_3, \beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4

α2,α3,α4\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4线性无关，求Ax=βAx=\beta的通解

A:

k(1,−2,1,0)T+(1,1,1,1)Tk(1,-2,1,0)^T+(1,1,1,1)^T

Q:

(a111a111a)(x1x2x3)=(11−2)\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \\ \end{pmatrix}

有无穷解，求 a

A: a=-2

Q:

A 为 m*n 矩阵，Ax=0 只有零解的充分条件是

A: A

Q:

α=(1,2,1)T,β=(1,12,0)T,γ=(0,0,8)T,A=αβT,B=βTα\alpha=(1,2,1)^T,\beta=(1,\frac{1}{2},0)^T,\gamma=(0,0,8)^T,A=\alpha\beta^T,B=\beta^T\alpha

求2B2A2x=A4x+B4x+γ2B^2A^2x=A^4x+B^4x+\gamma

A: x=k(1,2,1)T+(0,0,−12)Tx=k(1,2,1)^T+(0,0,-\frac{1}{2})^T特解也可能是(12,1,0)T(\frac{1}{2}, 1, 0)^T

Q: α1,α2,α3\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3是 Ax=0 的一个基础解系，则α1+α2,α2+α3,α3+α1\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1也是一个基础解系

A: 正确

Q:

α1=(1,2,−1,0)T,α2=(1,1,0,2)T,α3=(2,1,1,a)T\alpha_1=(1,2,-1,0)^T, \alpha_2=(1,1,0,2)^T, \alpha_3=(2,1,1,a)^T

他们构成的向量空间的维数为 2，求 a

A: a=6