非齐次线性方程组

Q:

{x1+2x3+2x4=62x1+x2+3x3+7x4=03x1+7x3+5x4=24\begin{cases} x_1 + 2x_3 + 2x_4 = 6 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 7x_4 = 0 \\ 3x_1+7x_3+5x_4 = 24 \\ \end{cases}

A:

x=(−6,−6,6,0)T+k(−4,−2,1,1)Tx=(-6, -6, 6, 0)^T + k(-4, -2, 1, 1)^T

Q:

{x1+x2+x3+x4=−14x1+3x2+5x3−x4=−12x1+x2+3x3−3x4=1\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -1 \\ 4x_1 + 3x_2+5x_3-x_4 = -1 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3-3x_4 = 1 \\ \end{cases}

A:

x=(2,−1,0,0)T+k1(−2,1,1,0)T+k2(4,−5,0,1)Tx=(2,-1,0,0)^T+k_1(-2,1,1,0)^T + k_2(4,-5,0, 1)^T

Q:

{2x1+x2−x3+x4=13x1−2x2+x3−3x4=4x1+4x2−3x3+5x4=−2\begin{cases} 2x_1+x_2-x_3+x_4 = 1 \\ 3x_1-2x_2+x_3-3x_4 = 4 \\ x_1 + 4x_2 - 3x_3 + 5x_4 = -2 \end{cases}

A:

x=(67,−57,0,0)T+k1(17,57,1,0)T+k2(17,−97,0,1)Tx=(\frac{6}{7},-\frac{5}{7}, 0, 0)^T + k_1(\frac{1}{7}, \frac{5}{7}, 1, 0)^T + k_2(\frac{1}{7}, -\frac{9}{7}, 0, 1)^T

Q:

{x1+x2+x3+x4+x5=13x1+2x2+x3+x4−3x5=05x1+4x2+3x3+3x4−x5=2\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + x_3 + x_4 - 3x_5 = 0 \\ 5x_1 + 4x_2 + 3x_3 + 3x_4 - x_5 = 2 \\ \end{cases}

A:

x=(−2,3,0,0,0)T+k1(1,−2,1,0,0)T+k2(1,−2,0,1,0)T+k3(5,−6,0,0,1)Tx=(-2,3,0,0,0)^T + k_1(1, -2, 1, 0, 0)^T + k_2(1, -2, 0, 1, 0)^T + k_3(5, -6, 0, 0, 1)^T

Q:

{−2x1+x2+x3=−2x1−2x2+x3=−2x1+x2−2x3=4\begin{cases} -2x_1 + x_2 + x_3 = -2 \\ x_1 - 2x_2 + x_3 = -2 \\ x_1 + x_2 - 2x_3 = 4 \\ \end{cases}

A:

(2,2,0)T+k(1,1,1)(2,2,0)^T + k(1,1,1)

Q:

{2x1+7x2+3x3+x4=63x1+5x2+2x3+2x4=49x1+4x2+x3+7x4=2\begin{cases} 2x_1 + 7x_2 + 3x_3 + x_4 = 6 \\ 3x_1 + 5x_2 + 2x_3 + 2x_4 = 4 \\ 9x_1 + 4x_2 + x_3 + 7x_4 = 2 \\ \end{cases}

A:

(8,0,0,−10)T+k1(−9,1,0,11)T+k2(−4,0,1,5)T(8,0,0,-10)^T + k_1(-9,1,0,11)^T + k_2(-4,0,1,5)^T

Q:

{x1+ax2+x3=2x1+x2+2x3=3x1+x2+bx3=4\begin{cases} x_1+ ax_2 + x_3 = 2 \\ x_1+ x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + bx_3 = 4 \\ \end{cases}

ab 取何值方程组解唯一

A: a≠1,b≠2a\ne1,b\ne2

Q:

{x1+ax2+x3=2x1+x2+2x3=3x1+x2+bx3=4\begin{cases} x_1+ ax_2 + x_3 = 2 \\ x_1+ x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + bx_3 = 4 \\ \end{cases}

ab 取何值方程组无解

A:

{b=2a=1,b≠3\begin{cases} b=2\\ a=1,b\ne3\\ \end{cases}

Q:

{x1+ax2+x3=2x1+x2+2x3=3x1+x2+bx3=4\begin{cases} x_1+ ax_2 + x_3 = 2 \\ x_1+ x_2 + 2x_3 = 3 \\ x_1 + x_2 + bx_3 = 4 \\ \end{cases}

ab 取何值方程组无穷多解，并求通解

A:

a=1,b=3,x=(1,0,1)T+k(−1,1,0)Ta=1,b=3,x=(1,0,1)^T+k(-1,1,0)^T

Q:

{x1+x2+x3+3x4=02x1+x2+3x3+5x4=13x1+2x2+ax3+7x4=1x1−x2+3x3−x4=b\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + ax_3 + 7x_4 = 1 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 = b \\ \end{cases}

ab 取何值无解

A: a=4,b≠2a=4,b\ne2

Q:

{x1+x2+x3+3x4=02x1+x2+3x3+5x4=13x1+2x2+ax3+7x4=1x1−x2+3x3−x4=b\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + ax_3 + 7x_4 = 1 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 = b \\ \end{cases}

ab 取何值有唯一解

A: a≠4,∀ba\ne4,\forall b

Q:

{x1+x2+x3+3x4=02x1+x2+3x3+5x4=13x1+2x2+ax3+7x4=1x1−x2+3x3−x4=b\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + 3x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 3x_3 + 5x_4 = 1 \\ 3x_1 + 2x_2 + ax_3 + 7x_4 = 1 \\ x_1 - x_2 + 3x_3 - x_4 = b \\ \end{cases}

ab 取何值有无穷解，求通解

A:

a=4,b=2,x=(1,−1,0,0)T+k(−2,1,1,0)Ta=4,b=2,x=(1,-1,0,0)^T + k(-2,1,1,0)^T

Q:

4 元非齐次线性方程组 Ax=b，r(A)=3,又三个解向量的关系如下，求 Ax=b 的通解

α1=(2,3,4,5)T,α2+α3=(1,2,3,4)T\alpha_1=(2,3,4,5)^T,\alpha_2+\alpha_3=(1,2,3,4)^T

A:

(2,3,4,5)T+k(3,4,5,6)T(2,3,4,5)^T+k(3,4,5,6)^T

Q:

4 元方程组 Ax=b 的三个线性无关的解如下，r(A) = 2，求方程组通解

α1=(−1,1,0,0)T,α2=(2,−3,1,1)T,α3=(0,3,0,1)T\alpha_1=(-1,1,0,0)^T, \alpha_2=(2,-3,1,1)^T, \alpha_3=(0,3,0,1)^T

A:

(−1,1,0,0)T+k1(3,−4,1,1)T+k2(1,2,0,1)T(-1,1,0,0)^T + k_1(3,-4,1,1)^T + k_2(1,2,0,1)^T

Q:

β1,β2\beta_1,\beta_2是 Ax=b 的两个不同的解， α1,α2\alpha_1,\alpha_2是 Ax=0 的基础解系， k1,k2k_1,k_2为任意实数，则 Ax=b 的通解是

{A,k1α1+k2(α1+α2)+β1−β22B,k1α1+k2(α1−α2)+β1+β22C,k1α1+k2(β1−β2)+β1−β22D,k1α1+k2(β1−β2)+β1+β22\begin{cases} A, k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1+\alpha_2) + \frac{\beta_1-\beta_2}{2} \\ B, k_1\alpha_1 + k_2(\alpha_1-\alpha_2) + \frac{\beta_1+\beta_2}{2} \\ C, k_1\alpha_1 + k_2(\beta_1-\beta_2) + \frac{\beta_1-\beta_2}{2} \\ D, k_1\alpha_1 + k_2(\beta_1-\beta_2) + \frac{\beta_1+\beta_2}{2} \\ \end{cases}

A: B

Q:

A 为 n 阶矩阵, r(A) = n-1,α1,α2\alpha_1,\alpha_2是方程组 Ax=0 的两个解向量，求 Ax=0 的通解是

{A,α1+α2B,kα1C,k(α1+α2)D,k(α1−α2)\begin{cases} A, \alpha_1 + \alpha_2 \\ B, k\alpha_1 \\ C, k(\alpha_1 + \alpha_2) \\ D, k(\alpha_1 - \alpha_2) \\ \end{cases}

A: D

Q:

{x1−2x2+3x3−4x4=0x1−4x2+3x3−2x4=0,{x1+3x3−3x4=0x2−x3+x4=0\begin{cases} x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 4x_4 = 0 \\ x_1 -4x_2 + 3x_3 -2x_4 = 0 \\ \end{cases}, \begin{cases} x_1 + 3x_3 -3x_4 = 0 \\ x_2 - x_3 + x_4 = 0 \\ \end{cases}

求公共解

A:

k(0,1,2,1)Tk(0,1,2,1)^T

Q:

{ξ1=(1,1,0,0)T,ξ2=(1,0,1,0)T,ξ3=(1,0,0,1)Tμ1=(0,0,1,1)T,μ2=(0,1,0,1)T\begin{cases} \xi_1=(1,1,0,0)^T, \xi_2=(1,0,1,0)^T, \xi_3=(1,0,0,1)^T \\ \mu_1=(0,0,1,1)^T, \mu_2=(0,1,0,1)^T \\ \end{cases}

分别是两个齐次线性方程组的基础解系，求两方程组的非零公共解

A: (0,k,−k,0)T,k≠0(0, k, -k, 0)^T,k\ne0

Q:

{x1+x2=0x2−x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 - x_4 = 0 \\ \end{cases}

求基础解系

A:

(0,0,1,0)T,(−1,1,0,1)T(0,0,1,0)^T, (-1,1,0,1)^T

Q:

{x1+x2=0x2−x4=0\begin{cases} x_1 + x_2 = 0 \\ x_2 - x_4 = 0 \\ \end{cases}

另一组齐次方程组的通解为

k1(0,1,1,0)T+k2(−1,2,2,1)Tk_1(0,1,1,0)^T + k_2(-1,2,2,1)^T

求两方程组的非零公共解。

A: k(1,−1,−1,−1)Tk(1,-1,-1,-1)^T

Q: A 是 m*n 的实矩阵，Ax=0,ATAx=0Ax=0,A^TAx=0是同解方程组

A: 正确

Q: Ax=0,Bx=0 都是 n 元齐次线性方程组，r(A)=r(B),Ax=0 的解全为 Bx=0 的解，则 Ax=0 和 Bx=0 同解。

A: 正确

Q: μ1,μ2\mu_1,\mu_2是 Ax=0 的解,k1μ1+k2μ2k_1\mu_1+k_2\mu_2也是其解

A: 正确

Q: α1,α2\alpha_1,\alpha_2是 Ax=b 的解，α1−α2\alpha_1-\alpha_2是 Ax=0 的解

A: 正确

Q: α\alpha是 Ax=b 的解，μ\mu是 Ax=0 的解，则α+μ\alpha+\mu是 Ax=b 的解

A: 正确