其他线性方程组问题

A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}

与 A 可交换的全体二阶矩阵

\begin{pmatrix} k_1 & k_2 \\ 0 & k_1 \\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 6 & 10 \\ \end{pmatrix}

X=\begin{pmatrix} 3-2t & 5-2u \\ t & u \\ \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 5 \\ -1 & -3 & 1 \\ \end{pmatrix}X=\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 8 & 8 \\ 3 & -4 \\ \end{pmatrix}

X=\begin{pmatrix} -1-3t & 4-3u \\ t & u \\ 2 & 0 \\ \end{pmatrix}

\alpha_1=(1,-1,1)^T, \alpha_2=(1,2,0)^T, \alpha_3=(1,0,3)^T

是否线性相关

A: 线性无关

\begin{cases} \alpha_1=(1,-1,1)^T, \alpha_2=(1,2,0)^T, \alpha_3=(1,0,3)^T \\ \beta=(2,-3,7)^T \end{cases}

用 alpha 线性表示 beta

A: $\beta=\alpha_1-\alpha_2+2\alpha_3$

\begin{cases} \alpha_1=(1,1,1)^T \\ \alpha_2=(a,1,1)^T \\ \alpha_3=(1,2,b)^T \\ \beta=(2,3,4)^T \\ \end{cases}

a,b 取何值时 beta 可由 alpha 唯一线性表示

A: $a\ne1,b\ne2$

\begin{cases} \alpha_1=(1,1,1)^T \\ \alpha_2=(a,1,1)^T \\ \alpha_3=(1,2,b)^T \\ \beta=(2,3,4)^T \\ \end{cases}

a,b 取何值时 beta 不能由 alpha 线性表示

\begin{cases} b=2,\forall a \\ a=1,b\ne3 \\ \end{cases}

\begin{cases} \alpha_1=(1,1,1)^T \\ \alpha_2=(a,1,1)^T \\ \alpha_3=(1,2,b)^T \\ \beta=(2,3,4)^T \\ \end{cases}

a,b 取何值时 beta 可由不唯一 alpha 线性表示，并写出表达式

a=1,b=3,\beta=(1-k)\alpha_1+k\alpha_2+\alpha_3

\begin{cases} \alpha_1=(1,2,1)^T \\ \alpha_2=(2,3,a)^T \\ \alpha_3=(1,a+2,-2)^T \\ \beta_1=(1,3,4)^T \\ \beta_2=(0,1,-1)^T \\ \end{cases}

beta1 可由 alpha 线性表示 beta2 不能由 alpha 线性表示求 a，并写出 beta1 的表达式

a=-1,\beta_1=(3+k)\alpha_1-(1+k)\alpha_2+k\alpha_3

Q: A 是 m*n 矩阵，B 是 n*s 矩阵，且 AB=O，则 $r(A)+r(B)\le n$

A: 正确

Q: $A^2=E$ 则 A 可逆

A: 正确

Q: $A^2=E$ 则 $r(A-E)+r(A+E)=n$

A: 正确

Q: A 是 m*n 矩阵，B 是 n*s 矩阵，则 $r(AB)\le r(B)$

A: 正确

V=\{x=(x_1,x_2,x_3) | x_1=x_2, x\in R\}

构成 R 的子空间

A: 正确

V=\{x=(x_1,x_2,x_3) | x_1x_2 = 0, x\in R\}

构成 R 的子空间

A: 错误

V=\{x=(x_1,x_2,x_3) | x_1+x_2-3x_3=0, 2x_2-x_3=0, x\in R\}

构成 R 的子空间

A: 正确

V=\{x=(x_1,x_2,x_3) | x_1+x_2-2x_2=1, x\in R\}

构成 R 的子空间

A: 错误

V=\{x=(0,1,x_3) | x_3 \in R\}

构成 R 的子空间

A: 错误

\begin{cases} \beta=(1,2,3)^T \\ \alpha_1=(2,1,1)^T \\ \alpha_2=(-3,2,0)^T \\ \end{cases} \rightarrow \beta \in L(\alpha_1, \alpha_2)

A: 错误

\begin{cases} \beta=(1,-2,0)^T \\ \alpha_1=(1,2,2)^T \\ \alpha_3=(1,4,3)^T \\ \end{cases} \rightarrow \beta \in L(\alpha_1, \alpha_2)

A: 正确

\begin{cases} \alpha_1=(1,2,-1,-2)^T \\ \alpha_2=(2,3,0,-1)^T \\ \alpha_3=(1,3,-1,0)^T \\ \alpha_4=(1,2,1,4)^T \\ \beta = (7,14,-1,2)^T \\ \end{cases}

求 beta 在 alpha 下的坐标

(0,2,2,1)^T

\begin{cases} \alpha_1 = (1,0)^T \\ \alpha_2 = (1,1)^T \\ \beta_1 = (3, 2)^T \\ \beta_2 = (5, -3)^T \\ \end{cases}

求 alpha 到 beta 的过度矩阵

\begin{pmatrix} 1 & 8 \\ 2 & -3 \\ \end{pmatrix}

\begin{cases} \alpha_1=(1,1,1)^T \\ \alpha_2=(0,1,1)^T \\ \alpha_3=(0,0,1)^T \\ \beta_1=(1,0,-1)^T \\ \beta_2=(1,1,0)^T \\ \beta_3=(0,-1,1)^T \\ \end{cases}

求两个基下的变换公式

\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ \end{pmatrix}

\begin{cases} \alpha_1=(1,0,-1)^T \\ \alpha_2=(2,1,1)^T \\ \alpha_3=(1,1,1)^T \\ \beta_1=(0,1,1)^T \\ \beta_2=(-1,1,0)^T \\ \beta_3=(1,2,1)^T \\ \end{cases}

求从 alpha 到 beta 的过度矩阵

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ -1 & -3 & -2 \\ 2 & 4 & 4 \\ \end{pmatrix}

\begin{cases} \alpha_1=(1,0,-1)^T \\ \alpha_2=(2,1,1)^T \\ \alpha_3=(1,1,1)^T \\ \beta_1=(0,1,1)^T \\ \beta_2=(-1,1,0)^T \\ \beta_3=(1,2,1)^T \\ \gamma=(9,6,5)^T \\ \end{cases}

求 gamma 在 alpha 和 beta 下的坐标

(1,2,4)^T, (0,-4,5)^T